UNIVERSITÄT KARLSRUHE



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Seminar in
Differentialgeometrie
Vortrag mit dem Thema

Nichtorientierbare Flächen im \( \textrm{R}^{3}\protect \)

Michael Ralph Pape

WS 1998/1999

1 Einleitung

Die Existenz nichtorientierbarer Flächen war eine bedeutende mathematische Entdeckung des 19. Jahrhunderts.

Das Ziel dieses Seminars ist es, solche Flächen ein wenig besser zu verstehen und sich mit Hilfe von Maple ein Bild von ihnen zu machen.

Um bestimmen zu können, welche Flächen nicht orientierbar sind, müssen wir zuerst Klarheit über den Begriff der Orientierbarkeit regulärer Flächen erlangen. Später werden wir Beispiele für nichtorientierbare Flächen, mit Hilfe gewisser Identifizierungen der Seiten eines Rechtecks, kennenlernen. Im Anschluß daran, wollen wir uns noch der Realisierung solcher nichtorientierbarer Flächen im \( \textrm{R}^{3}\protect \) widmen.

2 Orientierbarkeit von Flächen

Jeder Punkt \( p \) einer regulären Fläche \( S \) besitzt eine Tangentialebene \( T_{p}S \). Eine intuitive Wahl einer Orientierung auf dieser Tangentialebene \( T_{p}S \) induziert eine Orientierung in einer Umgebung des Punktes \( p \) auf \( S \). Intuitive Wahl bedeutet, daß hinreichend kleine geschlossene Kurven um Punkte in dieser Umgebung, im positiven Sinn durchlaufen werden.



\includegraphics{pics/orienti.eps}



Ist es möglich, die Wahl für jedes \( p\in S \) so zu treffen, daß die Orientierung im Durchschnitt von zwei Umgebungen übereinstimmt, so heißt \( S \) orientierbar. Ist das nicht möglich, so heißt \( S \) nicht orientierbar.

Wir betrachten nun eine Parametrisierung \( x(u,v) \) einer Umgebung eines Punktes \( p \) einer regulären Fläche \( S \). Als Orientierung von \( T_{p}S \) erhalten wir die Orientierung der zugehörigen geordneten Basis \( \{x_{u},x_{v}\} \). Gehört \( p \) zur Koordinatenumgebung einer anderen Parmetrisierung \( \overline{x}(\overline{u},\overline{v}) \), so läßt sich die neue Basis \( \{\overline{x}_{\overline{u}},\overline{x}_{\overline{v}}\} \) in Termen der ersten ausdrücken durch

\( \overline{x}_{\overline{u}}=x_{u}\frac{\partial u}{\partial \overline{u}}+x_{v}\frac{\partial v}{\partial \overline{u}} \),\( \qquad \) \( \overline{x}_{\overline{v}}=x_{u}\frac{\partial u}{\partial \overline{v}}+x_{v}\frac{\partial v}{\partial \overline{v}} \)

wobei \( u=u(\overline{u},\overline{v}) \) und \( v=v(\overline{u},\overline{v}) \) die Darstellungen des Koordinatenwechsels sind. Die Basen \( \{x_{u},x_{v}\} \) und \( \{\overline{x}_{\overline{u}},\overline{x}_{\overline{v}}\} \) bestimmen genau dann dieselbe Orientierung von \( T_{p}S \), wenn die Jacobische \( \frac{\partial (u,v)}{\partial (\overline{u},\overline{v})} \) des Koordinatenwechsels positiv ist.

Definition 1: Eine reguläre Fläche \( S \) heißt orientierbar, wenn es möglich ist, sie mit einer Familie von Koordinatenumgebungen so zu überdecken, daß, wenn ein Punkt \( p\in S \) zu zwei Umgebungen dieser Familie gehört, der Koordinatenwechsel eine positive Jacobische hat. Kann man eine solche Familie finden, so ist \( S \) orientierbar. Andernfalls ist \( S \) nicht orientierbar.

Im \( \textrm{R}^{3}\protect \) kann man eine geometrische Interpretation der Orientierbarkeit einer regulären Fläche geben.

Ein gegebenes Koordinatensystem \( x(u,v) \) liefert bei \( p \) eine bestimmte Wahl eines Einheitsnormalenvektors \( N \) bei \( p \) durch die Formel

\begin{displaymath}
N=\frac{x_{u}\times x_{v}}{\vert\vert  x_{u}\times x_{v}  \vert\vert}(p).
\end{displaymath} (1)

Nimmt man eine anderes Koordinatensystem \( \overline{x}(\overline{u},\overline{v}) \) bei \( p \) so gilt


\begin{displaymath}
\overline{x}_{\overline{u}}\times \overline{x}_{\overline{v}...
...})\frac{\partial (u,v)}{\partial (\overline{u},\overline{v})},
\end{displaymath} (2)

wobei \( \frac{\partial (u,v)}{\partial (\overline{u},\overline{v})} \) die Jakobische des Koordinatenwechsels ist. \( N \) behält deshalb sein Vorzeichen bei oder ändert es, ja nachdem ob \( \frac{\partial (u,v)}{\partial (\overline{u},\overline{v})} \) positiv oder negativ ist.

Definition 2: Sei \( U\subset S \) offen. Eine differenzierbare Abbildung \( N:U\rightarrow \textrm{R}^{3} \), die jedem \( q\in U \) einen Einheitsnormalenvektor \( N(p)\in \textrm{R}^{3} \)an \( S \) in \( q \) zuordnet, heißt differenzierbares Einheitsnormalenvektorfeld .

Satz 1: Eine reguläre Fläche \( S\subset \textrm{R}^{3} \) ist genau dann orientierbar, wenn es ein differenzierbares und damit stetiges Einheitsnormalenvektorfeld \( N:S\rightarrow \textrm{R}^{3} \) auf \( S \) gibt.

Beweis: Ist \( S \) orientierbar, so ist es möglich, \( S \) mit einer Familie von Koordinatenumgebungen so zu überdecken, daß der Koordinatenwechsel im Durchschnitt von je zwei Koordinatenumgebungen, eine positive Jacobische hat. In den Punkten \( p=x(u,v) \) jeder Umgebung definieren wir den Einheitsnormalenverktor \( N(p)=N(u,v) \) durch Gleichung (1). \( N(p) \) ist wohldefiniert, denn, falls \( p \) zu zwei Koordinatenumgebungen mit Parametern \( (u,v) \) und \( (\overline{u},\overline{v}) \) gehört, die Normalenvektoren \( N(u,v) \) und \( N(\overline{u},\overline{v}) \) wegen Gleichung (2) übereinstimmen. Darüber hinaus sind (wegen Gleichung (1)) die Koordinaten von \( N(u,v) \) in \( \textrm{R}^{3}\protect \) differenzierbare Funktionen von \( (u,v) \) und die Abbildung \( N:S\rightarrow \textrm{R}^{3} \) ist deshalb differenzierbar.

Auf der anderen Seite sei \( N:S\rightarrow \textrm{R}^{3} \) ein differenzierbares Einheitnormalenvektorfeld. Wir betrachten eine Familie zusammenhängender Koordinatenumgebungen, die \( S \) überdecken. Für die Punkte \( p=x(u,v) \) JEDER Koordinatenumgebung \( x(W),\: W\subset \textrm{R}^{2} \), ist es möglich es so einzurichten, daß aufgrund der Stetigkeit von \( N \)


\begin{displaymath}
N(p)=\frac{x_{u}\times x_{v}}{\vert\vert  x_{u}\times x_{v}  \vert\vert}\end{displaymath}

gilt. Das innere Produkt


\begin{displaymath}
<N(p),\frac{x_{u}\times x_{v}}{\vert\vert  x_{u}\times x_{v}  \vert\vert}>=f(p)=\pm 1\end{displaymath}

ist eine stetige Funktion auf \( x(W) \). Weil \( W \) zusammenhängend ist, ist das Vorzeichen von \( f \) konstant. Ist \( f=-1 \) so vertauschen wir \( u \) und \( v \) in der Parametrisierung und die Behauptung folgt.

Verfährt man so mit allen Koordinatenumgebungen, dann ist im Durchschnitt von je zwei Koordinatenumgebungen, z.B. \( x(u,v) \) und \( \overline{x}(\overline{u},\overline{v}) \) die Jacobische \( \frac{\partial (u,v)}{\partial (\overline{u},\overline{v})} \) sicherlich positiv. Nach Definition 1 ist \( S \) dann orientiert. \( \qquad \)qed

Der Beweis zeigt, daß man nur die Existenz eines stetigen Vektorfeldes auf \( S \) braucht, damit \( S \) orientierbar ist. Ein solches Vektorfeld ist automatisch differenzierbar.

Bisher haben wir die theoretischen Grundlagen für die Orientierbarkeit besprochen. Nun wenden wir uns topologischen Beschreibungen von Flächen zu.

3 Topologische Beschreibung von Flächen

\resizebox*{!}{2cm}{\includegraphics{pics/zylinder.eps}}      \resizebox*{!}{2cm}{\includegraphics{pics/torus.eps}}      \resizebox*{!}{2cm}{\includegraphics{pics/moebiusb.eps}}      \resizebox*{!}{2cm}{\includegraphics{pics/klflasch.eps}}      \resizebox*{!}{2cm}{\includegraphics{pics/projeben.eps}}

Es gibt topologische Beschreibungen von einigen elementaren Flächen durch Identifizierung mit den Seiten eines Quadrates. Kleben wir z.B. die obere und die untere Seite eines Quadrates zusammen, so erhalten wir einen Zylinder. Anschaulich läßt sich das Verkleben oder das Identifizieren durch ein Quadrat darstellen, welches an der oberen und unteren Kante je einen in die gleiche Richtung zeigenden Pfeil hat.

Verkleben wir nun noch die rechte und die linke Seite des Quadrates, was sich darstellen läßt durch zwei nach oben oder unten zeigende Pfeile an den Kanten, so ensteht ein Torus.

Identifizieren wir wieder die Ober- und Unterkante des Quadrates, aber diesesmal mit umgekehrt orientierten Pfeilen, so erhalten wir das Möbiusband.

Die Kleinsche Flasche entsteht bei einem solchen Identifiezierungsprozeß, wenn die horizontalen Pfeile in die gleiche Richtung und die vertikalen in die entgegengesetzte Richtung zeigen. Bei Vertauschung von horizontal und vertikal ergibt sich dieselbe Fläche.

Schließlich können wir die Quadratseiten noch so identifizieren, daß sowohl die vertikalen als auch die horizontalen Pfeile in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die so entstandene Fläche heißt reelle projektive Ebene. Man kann sie sich als Sphäre vorstellen, bei der alle Paare antipodal gegenüberliegender Punkte zu jeweils einem einzigen Punkt identifiziert werden.

Damit haben wir topologische Beschreibungen des Möbiusbandes, der Kleinschen Flasche und der reellen projektiven Ebene gegeben. Diese drei Flächen erweisen sich als nicht orientierbar.

Schwierig ist es für diese Flächen Parameterdarstellungen zu finden.

4 Das Möbiusband

Um für das Möbiusband ein Parameterdarstellung zu finden, ist es von Vorteil sich ein anderes Modell zu schaffen. Hierbei läßt man ein Geradensegment um eine Achse kreisen, wobei es sich bei jeder Umkreisung einmal um seinen Mittelpunkt dreht. Wir erhalten für das Möbiusband die Parameterdarstellung:

\( \textrm{M}(u,v)\rightarrow a(\cos u+v\cos (\frac{u}{2})\cos u,\sin u+v\cos (\frac{u}{2})\sin u,v\sin (\frac{u}{2})) \).



\includegraphics{pics/mb_ger.eps}



Man sieht leicht, das für \( v=0 \) sich der zentrale Kreis des Möbiusbandes ergibt und daß jedes \( v \) wenn man \( u \) festhält, eine, den zentralen Kreis schneidende Gerade ist. Läuft \( u \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \), so variiert der Winkel zwischen der \( z \)-Achse und der Geraden zwischen \( 0 \) und \( \pi \).

Jeder Versuch, ein Einheitsnormalenvektorfeld auf dem ganzen Möbiusband zu definieren, ist zum Scheitern verurteilt. Es läßt sich zwar ein solches Feld lokal angeben, versucht man es aber durch Verschiebung entlang des Mittelkreises auf das gesamte Möbiusband auszudehnen, so kommt die Einheitsnormale nach einer vollen Umdrehung entlang dieses Kreises auf der anderen Seite der Fläche an.

Das bedeutet, daß das Möbiusband nicht orienetierbar ist.



\resizebox*{!}{5cm}{\includegraphics{pics/mb_nm.eps}}



Als nächstes wenden wir uns der Kleinschen Flasche zu.

5 Die Kleinsche Flasche

Sie ist ebenso wie das Möbiusband eine nicht orientierbare Fläche. Sie läßt sich als die Fläche beschreiben, die entsteht, wenn man eine Acht-Kurve die sich um ihren Mittelpunkt dreht, um eine Achse kreisen läßt. Die Kreisbewegung und die Drehung erfolgen wie beim Möbiusband, nur nimmt man hier anstelle des Geradensegments eine Acht-Kurve.

Aus diesem Modell ensteht die folgende Parameterdarstellung der Kleinschen Flasche:

\( \textrm{KF}(u,v)=((a+\cos (\frac{u}{2})\sin v-\sin (\frac{u}{2})\sin (2v))\cos u, \)

\( \qquad \)\( \qquad \qquad \) \( (a+\cos (\frac{u}{2})\sin v-\sin (\frac{u}{2})\sin (2v))\sin u, \)

\( \qquad \) \( \sin (\frac{u}{2})\sin v+\cos (\frac{u}{2})\sin (2v) \).

Der zentrale Kreis der Kleinschen Flasche ist \( \textrm{KF}(u,0) \). Halten wir \( u \) fest und betrachten nur \( v, \) so sehen wir eine Acht-Kurve. Läuft nun \( u \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \), so läuft der Drehwinkel der Acht von \( 0 \) bis \( \pi \).

Dieselben Drehungen sind uns schon bei dem Möbiusband begegnet. Auch hier ist es nicht möglich ein Einheitsnormalenvektorfeld global zu definieren.





Wegen ihrer Selbstschnitte ist die Kleinsche Flasche im \( \textrm{R}^{3}\protect \) keine reguläre Fläche.

Zum Abschluß wenden wir uns noch einer Realisierung der reellen projektive Ebene zu.

6 Realisierungen der reellen projektiven Ebene

Sei \( S^{2}(a)=\{p\: \vert\: \vert\vert p\vert\vert=a\} \) die Sphäre vom Radius \( a \) im \( \textrm{R}^{3}. \) Die antipodale Abbildung \( A:S^{2}(a)\rightarrow S^{2}(a) \) ist durch \( A(p)=-p \) definiert. Sie ist ein Diffeomorphismus. Die reelle projektive Ebene \( \textrm{R}P^{2}(a) \) läßt sich als die Menge definieren, die man erhält, wenn man antipodal gegenüberliegende Punkte von \( S^{2}(a) \) miteinander identifiziert. Somit ist \( \textrm{R}P^{2}(a)=\{\{p,-p\}\: \vert\: \vert\vert p\vert\vert=a\} \).

Um die reelle projektive Ebene als Fläche im \( \textrm{R}^{3}\protect \) zu realisieren müssen wir also nach einer Abbildung \( F:\textrm{R}^{3}\rightarrow \textrm{R}^{3} \) suchen, die die antipodale Eigenschaft besitzt.

Definition 3: Gilt für eine Abbildung \( F:\textrm{R}^{3}\rightarrow \textrm{R}^{3} \)

\( F(-p)=F(p) \),

so sagt man \( F \) besitzt die antipodale Eigenschaft.

Satz 2: Jede Abbildung \( F:\textrm{R}^{3}\rightarrow \textrm{R}^{3} \), die die antipodale Eigenschaft hat, definiert eine andere Abbildung \( \widetilde{F_{a}}:\textrm{R}P^{2}(a)\rightarrow F(S^{2}(a))\subset \textrm{R}^{3} \), durch

\( \widetilde{F_{a}}(\{p,-p\})=F(p). \)

D.h., man kann \( \textrm{R}P^{2}(a) \) als die Bildmenge von \( S^{2}(a) \) (unter der Abbildung \( F \)) betrachten. Jedes Koordinatennetz \( x:U\rightarrow S^{2}(a) \), \( U\subset \textrm{R}^{2} \) führt zu einem, durch die Festsetzung \( \widetilde{x}(u,v)=F(x(u,v)) \) definierten, Koordinatennetz \( \widetilde{x}:U\rightarrow F(S^{2}(a)). \) Wir betrachten nun ein Beispiel für Abbildungen, die die antipodale Eigenschaft besitzen. Wir werden diese Abbildung zu Erzeugung einer Realisierung der reellen projektive Ebene verwenden.

6.1 Die Steinersche römische Fläche.

Jacob Steiner entdeckte 1844, bei eine Rombesuch, eine Fläche, die man heute die Steinersche römische Fläche nennt. Sie ist eine Realisierung der reellen projektiven Ebene.

Um die Steinersche römische Flasche zu beschreiben, definiert man sich eine Abbildung \( F:\textrm{R}^{3}\rightarrow \textrm{R}^{3} \)mit \( F(x,y,z)=(xy,yz,zx) \). Es ist leicht zu sehen, daß diese Abbildung die antipodale Eigenschaft hat. Folglich induziert \( F \) eine Abbildung \( \widetilde{F}:\textrm{R}P^{2}(a)\rightarrow F(S^{2}(a)) \) von der reellen projektiven Ebene \( \textrm{R}P^{2}(a) \) auf \( F(S^{2}(a)). \) \( F(S^{2}(a)) \) heißt die Steinersche römische Fläche vom Radius a.

Verknüpft man nun noch die Abbildung \( F \) mit der Standardparametrisierung von \( S^{2}(a) \), also dem Koordinatennetz \( x:(u,v)\rightarrow (a\cos v\cos u,a\cos v\sin u,a\sin u) \), so parametrisiert diese Verknüpfung die gesamte Steinersche römische Fläche.

Ihre Parametrisierung lautet


\begin{displaymath}
\textrm{SRF}(u,v)=(\frac{a^{2}}{2})(\sin (2u)(\cos v)^{2},\sin u\sin (2v),\cos u\sin (2v)).\end{displaymath}







Michael Ralph Pape
2000-12-29